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安徽合肥2018-2019學年高二數學上學期期中考試(解析)

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安徽省合肥市第八中學2018-2019學年第一學期

高二年級期中考試數學(文)試卷

一、選擇題(本大題共12小題,共60.0分)

1.直線x=-1的傾斜角為(??)

A. 0 B. C. D. 不存

【答案】C

【解析】

【分析】

根據題意,分析可得直線x=-1與x軸垂直,即可得其傾斜角,即可得答案.

【詳解】解:根據題意,直線x=-1與x軸垂直,

其傾斜角為;

故選:C.

【點睛】本題主要考查了直線的傾斜角的概念,涉及直線的方程,屬于基礎題.


2.已知直線l1:(k-3)x+(4-ky+1=0與l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,則k的值是(??)

A. 1或3 B. 1或5 C. 3或5 D. 1或2

【答案】C

【解析】

【分析】

當k-3=0時,求出兩直線的方程,檢驗是否平行;當k-3≠0時,由一次項系數之比相等且不等于常數項之比,求出k的值.

【詳解】解:由兩直線平行得,當k-3=0時,兩直線的方程分別為??y=-1?和y=,顯然兩直線平行.

當k-3≠0時,由?,可得?k=5.綜上,k的值是3或5,

故選:C.

【點睛】本題主要考查了兩直線平行之間方程系數的關系,考查了分類討論的數學思想及計算能力,屬于基礎題.


3.如圖正方形OABC的邊長為1cm,它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖,則原圖形的周長是(??)


A. 8cm B. 6cm C. D.

【答案】A

【解析】

試題分析:由題意得,正方形的邊長為,它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖,所以,對應原圖形平行四邊形的高為,如圖所示,所以原圖形中,,所以原圖形的周長為,故選A


考點:平面圖形的直觀圖.


4.若mn表示兩條不同直線,α表示平面,則下列命題中真命題是(??)

A. 若,,則 B. 若,,則

C. 若,,則 D. 若,,則

【答案】A

【解析】

對于A,因為垂直于同一平面的兩條直線相互平行,故A正確;對于B,如果一條直線平行于一個平面,那么平行于已知直線的直線與該平面的位置關系有平行或在平面內,故B錯;對于C,因同平行于一個平面的兩條直線異面、相交或平行,故C錯;對于D,與一個平面的平行直線垂直的直線與已知平面是平行、相交或在面內,故D錯,選A.


5.過點(1,2)且與原點距離最大的直線方程是(??)

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

由題意,過點原點和的直線的斜率,

要使得過且與原點的距離最大值,則過點的直線與直線是垂直的,

即所求直線的斜率為,

由直線的點斜式方程可得,即,故選A.


6.若三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的四個面中直角三角形的個數是(??)


A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【答案】D

【解析】

該幾何體原圖如下圖所示的.由圖可知,三棱錐的個面都是直角三角形,故選.



7.已知一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積和表面積分別為(??)


A. , B. ,

C. , D. ,

【答案】B

【解析】

【分析】

根據三視圖知該幾何體是圓柱在中間挖去一個同底等高的圓錐,結合圖中數據,即可求出它的體積和表面積.

【詳解】解:根據三視圖知,該幾何體是圓柱,在中間挖去一個同底等高的圓錐,如圖所示;


結合圖中數據,計算該幾何體的體積為:

V=π?12?1-π?12?1=π;

表面積為:

S=π?12+2π?1?1+π?1?=(3+)π.

故選:B.

【點睛】本題主要考查了幾何體三視圖的應用問題,幾何體的體積以及表面積的計算,是基礎題


8.已知點A(2,-3),B(3,2),直線ax+y+2=0與線段AB相交,則實數a的取值范圍是(??)

A. B. 或 C. D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】

直線ax+y+2=0經過定點C(0,-2),斜率為-a,,求出,數形結合得到直線的斜率范圍,即可求得實數a的取值范圍.

【詳解】解:如圖:直線ax+y+2=0經過定點C(0,-2),斜率為-a


當直線ax+y+2=0經過點A(2,-3)時,有AC=.

當直線ax+y+2=0經過點B(3,2)時,有BC=.

∴,即,

故選:C.

【點睛】本題主要考查了考查恒過定點的直線,直線的斜率公式的應用,考查了數形結合思想及計算能力,屬于中檔題.


9.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為(??)



A. B. C. D. 8

【答案】B

【解析】

由圖可知該幾何體底面積為8,高為2的四棱錐,如圖所示:


∴該幾何體的體積

故選B

點睛:思考三視圖還原空間幾何體首先應深刻理解三視圖之間的關系,遵循“長對正,高平齊,寬相等”的基本原則,其內涵為正視圖的高是幾何體的高,長是幾何體的長;俯視圖的長是幾何體的長,寬是幾何體的寬;側視圖的高是幾何體的高,寬是幾何體的寬.

【此處有視頻,請去附件查看】



10.若直線l1l2是異面直線,l1?α,l2?β,α∩β=l,則下列命題正確的是(??)

A. l至少與,中的一條相交 B. l與,都相交

C. l至多與,中的一條相交 D. l與,都不相交

【答案】A

【解析】

【分析】

由線線、線面之間的位置關系直接判斷即可。

【詳解】解:由直線l1和l2是異面直線,l1?α,l2?β,α∩β=,知:

在A中,當l1,l2都平行時,l1∥l2,與直線l1和l2是異面直線矛盾,

∴至少與l1,l2中的一條相交,故A正確;

在B中,可以與l1,l2中的一條相交,與另一條平行,故B錯誤;

在C中,可以與l1,l2中的兩條都相交,故C錯誤;

在D中,當l1,l2都與平行時,l1∥l2,與直線l1和l2是異面直線矛盾,

∴至少與l1,l2中的一條相交,故D錯誤.

故選:A.

【點睛】本題主要考查了命題真假的判斷,考查空間中線線、線面的位置關系等基礎知識,考查空間思維能力,屬于基礎題.


11.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為(


A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

試題分析:以D點為坐標原點,以DADC所在的直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系則A200),B220),C020),021

∴=-201),=-220),且為平面BB1D1D的一個法向量.

∴BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為

考點:直線與平面所成的角

【此處有視頻,請去附件查看】



12.三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABCABBCPA=2,AB=BC=1,則其外接球的表面積為(??)

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

分析:將三棱錐的外接球轉化為以為長寬高的長方體的外接球,從而可得球半徑,進而可得結果.

詳解:因為平面,平面,

,,

所以三棱錐的外接球,就是以為長寬高的長方體的外接球,

外接球的直徑等于長方體的對角線,

即,所以外接球的表面積為:

,故選A.

點睛:本題主要考查三棱錐外接球表面積的求法,屬于難題.要求外接球的表面積和體積,關鍵是求出求的半徑,求外接球半徑的常見方法有:

①若三條棱兩垂直則用(為三棱的長);

②若面(),則(為外接圓半徑)

③可以轉化為長方體的外接球;

④特殊幾何體可以直接找出球心和半徑.


二、填空題(本大題共4小題,共20.0分)

13.已知平面α,β,直線l,若α∥β,l?α,則直線l與平面β的位置關系為______.

【答案】l∥β

【解析】

【分析】

根據平面與平面平行的定義可以得出直線與平面平行.

【詳解】解:因為平面α∥β,且?α,

所以∥β.

故答案為:∥β.

【點睛】本題主要考查了平面與平面平行的定義以及直線與平面平行的轉化問題,是基礎題.


14.若兩平行直線3x-y+m=0,6x+ny+7=0之間的距離為,則m的值為______.

【答案】6或1

【解析】

【分析】

由兩直線平行可求得,把兩條平行線方程中xy的系數化為相同的,根據兩條平行直線間的距離等于列方程,求得m的值.

【詳解】解:由兩直線3x-y+m=06x+ny+7=0平行,

可得∴n=,m≠,故兩平行直線方程為: 6x-2y+2m=06x-2y+7=0.

又它們之間的距離為,

∴,求得m=6或m=1,

故答案為:6或1.

【點睛】本題主要考查了兩條平行直線間的距離公式的應用及兩平行線之間方程的系數關系,屬于基礎題.


15.在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內有一個體積為V的球,若ABBCAB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是______.

【答案】

【解析】

要使球的體積V最大,必須使球的半徑R最大.

因為△ABC內切圓的半徑為2,所以由題意易知球與直三棱柱的上、下底面都相切時,

球的半徑取得最大值為,此時球的體積為πR3=,故填.


16.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,點EFG分別為棱ABAA1C1D1的中點.下列結論中,正確結論的序號是______.

①過EFG三點作正方體的截面,所得截面為正六邊形;

B1D1∥平面EFG

BD1⊥平面ACB1

④異面直線EFBD1所成角的正切值為;

⑤四面體ACB1D1的體積等于a3


【答案】①③④

【解析】

【分析】

根據公里3,作截面可知①正確;根據直線與平面的位置關系可知②不正確;根據線面垂直的判定定理可知③正確;根據異面直線所成的角的定義求得異面直線EF與BD1的夾角的正切值為,可知④正確;用正方體體積減去四個正三棱錐的體積可知⑤不正確.

【詳解】解:延長EF分別與B1A1,B1B的延長線交于N,Q,連接GN交A1D1于H,

設HG與B1C1的延長線交于P,連接PQ交CC1于I,交BC于M,


連FH,HG,GI,IM,ME,則截面六邊形EFHGIM為正六邊形,故①正確;

B1D1與HG相交,故B1D1與平面?EFG相交,所以②不正確;

∵BD1⊥AC,BD1⊥B1C,且AC與B1C相交,所以BD1⊥平面ACB1,故③正確;

取的中點,連接,則,

所以就是異面直線EF與BD1的夾角,

設正方體的邊長為,可得:,,,

所以是直接三角形.可得:.

可得異面直線EF與BD1的夾角的正切值為,故④正確;

四面體ACB1D1的體積等于正方體的體積減去四個正三棱錐的體積,

即為,故⑤不正確.

故答案為:①③④

【點睛】本題主要考查了命題的真假判斷,考查空間思維能力及作圖能力、線面位置關系,還考查了求異面直線所成的角,還考查了空間幾何體的體積計算,屬于難題.


三、解答題(本大題共6小題,共70.0分)

17.已知△ABC的三個頂點分別為A(2,1),B(-2,3),C(0,-3),求:

Ⅰ)若BC的中點為D,求直線AD的方程;

Ⅱ)求△ABC的面積.

【答案】Ⅰ)x-3y+1=0Ⅱ)10

【解析】

【分析】

Ⅰ)求出中點D的坐標,利用直線方程的兩點式即可得解。

Ⅱ)求出的長度,再求出直線的方程及點到直線的距離,問題得解。

詳解】解:(Ⅰ)∵B(-2,3),C(0,-3),

D(-1,0).

∴直線AD的方程為,

整理得:x-3y+1=0;

Ⅱ)∵B(-2,3),C(0,-3),

∴|BC|=.

又直線BC的方程為3x+y+3=0,則A點到直線BC的距離為,

∴△ABC的面積為=10.

【點睛】本題主要考查了中點坐標公式及直線方程的兩點式,考查了兩點距離公式及點到直線的距離公式及三角形面積公式,考查計算能力,屬于中檔題。


18.已知直線l方程為(m+2)x-(m+1)y-3m-7=0,mR

Ⅰ)求證:直線l恒過定點P,并求出定點P的坐標;

Ⅱ)若直線lx軸,y軸上的截距相等,求直線l的方程.

【答案】Ⅰ)直線l恒過定點P(4,1).(Ⅱ)x +y-5=0或

【解析】

分析】

Ⅰ)整理直線的方程得mx-y-3)+2x-y-7=0,令,解方程組即可求得定點P的坐標。

Ⅱ)令,求得直線l的縱截距,再令,求得直線l的橫截距,由題意列方程即可求得的值,問題得解。

【詳解】解:(Ⅰ)直線l方程為(m+2)x-(m+1)y-3m-7=0,mR,即mx-y-3)+2x-y-7=0,

x-y-3=0,可得2x-y-7=0,聯立方程組求得,可得直線l恒過定點P(4,1).

Ⅱ)直線lx軸,y軸上的截距相等,

x=0,求得y=-;令y=0,求得,

∴-=,解得:m=-或,

∴直線l方程為x+y-=0或,即x +y-5=0或

【點睛】本題主要考查了直線過定點問題,考查轉化能力,還考查了直線橫、縱截距定義及方程思想、計算能力,屬于中檔題。


19.如圖,在四棱錐P-ABCD中,ABCDCD=2ABEPC的中點,且PAB=∠PDC=90°.

Ⅰ)證明:BE∥平面PAD

Ⅱ)證明:平面PAB⊥平面PAD


【答案】Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析

【解析】

【分析】

Ⅰ)取PD的中點F,連接AFEF證明,即可得證BE∥平面PAD.

Ⅱ)證明,即可證明平面PAD,問題得證。

【詳解】證明:(I)取PD的中點F,連接AFEF


EF分別是PCPD的中點,

EFCD,又ABCD

EFAB

∴四邊形ABEF是平行四邊形,

AFBE,又AF?平面PADBE?平面PAD

BE∥平面PAD

II∵∠PDC=90°PDDC

ABCD

ABPD

∵∠PAB=90°PAAB

PA?平面PADPD?平面PADPAPD=P

AB⊥平面PAD,又AB?平面PAB

∴平面PAD⊥平面PAB

【點睛】本題主要考查了線面平行的證明及面面垂直的證明,考查了轉化思想及空間思維能力,屬于中檔題。


20.如圖,在三棱錐S-ABC中,平面SAB⊥平面SBCABBCAS=AB,點EFG分別在棱SASBSC上,且平面EFG∥平面ABC,點ESA的中點.求證:

Ⅰ)AF⊥平面SBC

Ⅱ)SABC


【答案】Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析

【解析】

【分析】

Ⅰ)由平面EFG∥平面ABC證得,即可說明點是的中點,即可證得AFSB,利用平面SAB⊥平面SBC即可證得AF⊥平面SBC,問題得證。

Ⅱ)由(Ⅰ)中結論可證得BCAF,結合BABC即可證得BC⊥平面SAB,問題得證。

【詳解】證明:(Ⅰ)平面EFG∥平面ABC

平面EFG平面=,平面ABC平面=,

,又點是的中點

點是的中點,


AS=AB

AFSB

∵在三棱錐S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,平面SAB∩平面SBC=SB

AF⊥平面SBC

Ⅱ)∵AF⊥平面SBCBC?平面SBC

BCAF

BABCBAAF=A

BC⊥平面SAB

SA?平面SABSABC

【點睛】本題主要考查了面面平行的性質及面面垂直的性質,考查轉化能力,還考查了線線垂直、線面垂直的證明,考查空間思維能力,屬于中檔題。


21.如圖,已知AB是圓O的直徑,C是圓O上一點,AC=BC,且PA⊥平面ABCEAC的中點,FPB的中點,PA=,AB=2.求:

Ⅰ)異面直線EFBC所成的角;

Ⅱ)點A到平面PBC的距離.


【答案】Ⅰ)60°Ⅱ).

【解析】

【分析】

Ⅰ)連接OEOF,說明FEO是異面直線EFBC所成的角,解三角形即可。

Ⅱ)證明BC⊥平面PAC,即可計算出SPBC=2,利用等體積法列方程即可得解。

【詳解】解:(I)連接OEOF


OAB的中點,EAC的中點,

OEBC

∴∠FEO是異面直線EFBC所成的角,

OAB的中點,FPB的中點,

OFPA,又PA⊥平面ABC

OF⊥平面ABC

AB是圓O的直徑,ACBC

AC=BCAB=2BC=OE=BC=,

OF=PA=∴tan∠FEO==,

∴異面直線EFBC所成的角為60°.

IIPA⊥平面ABCBC?平面ABC

PABC

AB是圓O的直徑,ACBC

PAAC=A

BC⊥平面PACBCPC

PC==2SPBC==2.

A到平面PBC距離為h,則VA-PBC==.

VA-PBC=VP-ABC===,

h=,即A到平面PBC的距離為.

【點睛】本題主要考查了異面直線所成的角求法,考查空間思維能力及轉化能力,還考查了等體積法求三棱錐的高,考查計算能力,屬于中檔題。


22.在梯形ABCD中,DCABDCCBEAB的中點,且AB=2BC=2CD=4(如圖所示),將△ADE沿DE翻折,使AB=2(如圖所示),F是線段AD上一點,且AF=2DF

Ⅰ)求四棱錐A-BCDE的體積;

Ⅱ)在線段BE上是否存在一點G,使EF∥平面ACG?若存在,請指出點G的位置,并證明你的結論;若不存在,請說明理由.


【答案】Ⅰ)Ⅱ)線段BE上存在一點GGBE上靠近點B的三等分點,使EF∥平面ACG

【解析】

【分析】

Ⅰ)取BE中點O,連結AO,證明AO⊥平面BCDE即可計算四棱錐A-BCDE的體積。

Ⅱ)過FFHDC,交ACH,在EB上取EG=FH,連結GH,證明FHEG,即可證明EF∥,問題得解。

【詳解】解:(Ⅰ)∵在梯形ABCD中,DCABDCCBEAB的中點,AB=2BC=2CD=4(如圖1所示),


將△ADE沿DE翻折,使AB=2(如圖2所示),

,∴平面ABE

∴平面ABE⊥平面BCDE,四邊形BCDE是以2為邊長的正方形,

BE中點O,連結AO,則AOBE

AO⊥平面BCDE,且AO==,

∴四棱錐A-BCDE的體積V===.

Ⅱ)過FFHDC,交ACHEB上取EG=FH,連結GH

F是線段AD上一點,且AF=2DF

,

EG=2GB,即GBE上靠近點B的三等分點,

此時,FHEG∴四邊形GEFH是平行四邊形,EFGH

EF?平面ACGGH?平面ACG

∴線段BE上存在一點GGBE上靠近點B的三等分點,使EF∥平面ACG

【點睛】本題主要考查了錐體體積計算,考查空間中的線面垂直證明、面面垂直的性質,還考查了線面平行的證明及線線、線面平行的轉化,考查計算能力,屬于中檔題。





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